量子过程层析(Quantum Process Tomography, QPT)和保真度

笑看风云

QPT

对于一个演化过程 U ，我们可以将其分解为Krauss算子的线性组合，
U = \sum \alpha_{i} A_{i} \\ 在量子计算中，我们往往会选择 \{I,\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z}\} 。 当我们输入一个初态 \rho_{l} ，经过演化后，我们得到末态的密度矩阵为，
\begin{aligned}        \rho_{m} &=  U\rho_{l}U^{\dagger} \\                   &= \chi_{ij}A_{i}\rho_{l}A_{j}^{\dagger}   \end{aligned}  \\ 如果我们将密度矩阵分解为矩阵空间基的线性组合，
     \rho_{l} = \lambda_{lk} \rho_{k} \\ 那么我们可以得到以下关系，
     \beta_{mk} \rho_{k} = \chi_{ij}\lambda_{lk}^{ij}\rho_{k} \\ 若我们将 ij 合并为一个指标， mk 合并为一个指标，上述等式可以写为向量形式，
     \pmb{\lambda}\pmb{\overrightarrow{\chi}} = \pmb{\overrightarrow{\beta}} \\ 我们称其中的 \pmb{\overrightarrow{\chi}} 为 \chi 矩阵。
超算符形式的QPT

对于纯态到纯态的演化，我们可以通过初态和末态直接得到态演化矩阵 U ，直接对其进行分解即可。若是考虑退相干等因素，末态是一个混合态，那么我们必须通过密度矩阵来确定 \chi 矩阵。不过，我们可以通过超算符来进行QPT的计算。
超算符定义为，
\begin{aligned}     \tilde{U} \pmb{\rho_{in}} &= U \rho U^{\dagger} = \pmb{\rho_{out}} \\     \tilde{A}_{ij} \pmb{\rho} &= A_{i} \rho A_{j}^{\dagger} \end{aligned} \\对于一个 d 维的态空间，密度矩阵维度为 d^{2} 。若我们输入 d^{2} 个线性独立的密度矩阵，根据得到的 d^{2} 个输出密度矩阵，我们可以确定 \tilde{U} 。接下来，我们只需要将其分解，
     \tilde{U} = \chi_{ij} \tilde{A}_{ij} \\就能够得到 \chi 矩阵。
门保真度的计算

通过 \chi 矩阵，我们可以计算过程保真度[1]，
f_{pro} = Tr(\chi_{mea}\chi_{ideal})/(Tr(\chi_{mea})Tr(\chi_{ideal}))  \\ 在本文中，我们不将过程保真度归一化，因为 \chi 矩阵的迹不等于1正是由于退相干等造成的误差，不应该被抹去，故我们所用的过程保真度定义为，
     f_{pro} = Tr(\chi_{mea}\chi_{ideal}) \tag{1} 通过过程保真度，我们可以定义门保真度，
     f_{g} = \frac{1+d f_{pro}}{1+d} \\ 其中， d 为态空间的维度。
计算门保真度面临的另一个问题是，如果我们考虑了比特的二能级，我们只需要其中某个子空间的演化矩阵。
对于纯态到纯态的演化，我们可以输入以下4个初态，
\begin{aligned}     | \psi_{in,0} \rangle &= | 000 \rangle \\     | \psi_{in,1} \rangle &= | 001 \rangle \\     | \psi_{in,2} \rangle &= | 100 \rangle \\     | \psi_{in,3} \rangle &= | 101 \rangle \\ \end{aligned} \\ 并得到对应的末态，我们将末态作截断，他们之间有如下关系，      U(| \psi_{in,0}\rangle,| \psi_{in,1}\rangle,| \psi_{in,2}\rangle,| \psi_{in,3}\rangle) = (| \psi_{out,0} \rangle,| \psi_{out,1} \rangle,| \psi_{out,2} \rangle,| \psi_{out,3} \rangle) \tag{2} 我们可以反解得到演化矩阵 U 。
对于输出混合态的情形，我们借助超算符形式的QPT，输入子空间内的16个线性独立的密度矩阵矢量，并将输出的密度矩阵矢量作截断，有类似公式 (2) 的关系，
     \tilde{U}(\pmb{\rho_{in,0}},\pmb{\rho_{in,1}},\cdots,\pmb{\rho_{in,15}}) = (\pmb{\rho_{out,0}},\pmb{\rho_{out,1}},\cdots,\pmb{\rho_{out,15}}) \\ 可以得到对应的超算符 \tilde{U} 。
单比特退相干的保真度

现在，我们来计算一下单比特退相干的影响。
我们假设一个比特(只考虑两个能级)处于 |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta |1\rangle ，并自由演化。在相互作用表象下，比特的态保持不变，
|\psi(t)\rangle = \alpha | 0\rangle + \beta |1\rangle \\ 则它的演化矩阵为
U = I \\ 那么我们有
\chi_{ideal} =  \begin{pmatrix}     1 & & & \\       & 0 & & \\       & &0 & \\       & & &0 \end{pmatrix} \\ 现在，我们加入退极化和纯退相位作用。自由单比特在退相位作用下的密度矩阵为，
\rho(t) =  \begin{pmatrix} 1+(|\alpha|^{2}-1)e^{-\Gamma_{1}t} & \alpha\beta^{*} e^{-\Gamma_{2}t/2} \\ \alpha^{*}\beta e^{-\Gamma_{2}t/2} & |\beta|^{2}e^{-\Gamma_{1}t} \end{pmatrix} \\ 通过初始与 t 时刻的密度矩阵，我们可以得到演化超算符，
\tilde{U} =  \begin{pmatrix} 1 & (1+i)(1-\frac{1}{2}e^{-\Gamma_{1}t}-\frac{\sqrt{2}}{2})  & (1-i)(1-\frac{1}{2}e^{-\Gamma_{1}t}-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2}(1-e^{-\Gamma_{1}t})  & 1- e^{-\Gamma_{1}t} \\ 0 & e^{-\Gamma_{2}t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\Gamma_{2}t} & 0 \\ 0 & \frac{1+i}{2}e^{-\Gamma_{1}t} & \frac{1-i-2\sqrt{2}}{2}e^{-\Gamma_{1}t} & e^{-\Gamma_{1}t} \\ \end{pmatrix} \\ 然后我们要将其分解为 \tilde{A}{ij} 。我们选用泡利矩阵和单位矩阵作为分解基，他们对应的超算符形式为，
\begin{align*}     A(I,I) =  \begin{pmatrix}   1 &0  & 0 &0 \\ 0  &1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &1 & 0\\ 0 & 0 &0  &1\\  \end{pmatrix},     &A(I,\sigma_{x}) =  \begin{pmatrix}  0 & 0 &1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 &0 \\ \end{pmatrix}, \\     A(I,\sigma_{y}) =  \begin{pmatrix} 0 & 0 &i & 0\\ 0 & 0 & 0 &i\\ -i& 0 & 0 &0 \\ 0 &-i& 0 & 0\\ \end{pmatrix}, &A(I,\sigma_{z}) =  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &-1& 0\\ 0 & 0 & 0 &-1\\ \end{pmatrix}, \\     A(\sigma_{x},I) =  \begin{pmatrix}  0 &1 & 0 & 0\\  1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 &1\\  0 & 0 &1 & 0\\ \end{pmatrix}, &A(\sigma_{x},\sigma_{x}) =  \begin{pmatrix}  0 & 0 & 0 &1\\   0 & 0 &1 & 0\\ 0 &1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 &0 \\ \end{pmatrix}, \\    A(\sigma_{x},\sigma_{y}) =  \begin{pmatrix}  0 & 0 & 0 &i\\ 0 & 0 &i &0 \\ 0 &-i& 0 &0 \\ -i& 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}, &A(\sigma_{x},\sigma_{z}) =  \begin{pmatrix} 0 &1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &-1\\ 0 & 0 &-1& 0\\ \end{pmatrix}, \\ A(\sigma_{y},I) =  \begin{pmatrix} 0&-i& 0 & 0\\ i & 0 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 &-i\\  0 & 0 &i & 0\\ \end{pmatrix}, &A(\sigma_{y},\sigma_{x}) =  \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &-i\\ 0 & 0 &i & 0\\ 0 &-i& 0 &0 \\ i & 0 & 0 & 0\\  \end{pmatrix}, \\ A(\sigma_{y},\sigma_{y}) =  \begin{pmatrix} 0 & 0 &0  &1\\ 0 & 0 &-1& 0\\ 0 &-1& 0 & 0\\  1 & 0 &0  &0 \\ \end{pmatrix},  &A(\sigma_{y},\sigma_{z}) =  \begin{pmatrix} 0 &-i& 0 & 0\\ i & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 &i\\ 0 & 0 &-i& 0\\ \end{pmatrix}, \\     A(\sigma_{z},I) =  \begin{pmatrix} 1 & 0 &0  & 0\\ 0 &-1& 0 &0 \\ 0 & 0 &1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &-1\\  \end{pmatrix}, &A(\sigma_{z},\sigma_{x}) =  \begin{pmatrix} 0 & 0 &1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &-1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 &-1& 0 & 0\\ \end{pmatrix},\\ A(\sigma_{z},\sigma_{y}) =  \begin{pmatrix} 0 & 0 &i & 0\\ 0 & 0 & 0 &-i\\ -i& 0 & 0 & 0\\ 0 &i & 0 & 0\\ \end{pmatrix},      &A(\sigma_{z},\sigma_{z}) =  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\  0 &-1& 0 & 0\\ 0 & 0 &-1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\\ \end{pmatrix}.\end{align*} \\ 从公式 (1)中，我们可以发现，我们只需要 \chi_{I,I} 的系数即可。我们比较对角元上的数值，列出方程组可以得到，
\chi_{I,I} = \frac{1 + e^{-\Gamma_{1}t} + 2e^{-\Gamma_{2}t}}{4} \\ 那么过程保真度为，
f_{pro} = \frac{1 + e^{-\Gamma_{1}t} + 2e^{-\Gamma_{2}t}}{4} \\ 单比特系统 d=2 ， 那么平均保真度为
f_{ave} = \frac{3 + e^{-\Gamma_{1}t} + 2e^{-\Gamma_{2}t}}{6} \\ 与[2]中的结论一致。
参考

• ^Gate fidelity fluctuations and quantum process invariants http://arxiv.org/abs/0910.1315
  
• ^Fidelity of quantum operations http://arxiv.org/abs/quant-ph/0701138
  

原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/632778591